TRANSFORMASI GEOMETRI

 Pengertian Transformasi Geometri 

Transformasi berarti perubahan sebuah struktur menjadi bertambah, berkurang atau tertata kembali unsurnya. Sedangkan geometri berarti cabang matematika yang menjelaskan soal sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.

Berdasarkan dua definisi tersebut transformasi geometri dapat disimpulkan sebagai perubahan bentuk dari sebuah garis, sudut, ruang, dan bidang

Jenis-jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri itu sendiri terdiri dari empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi.

Berikut adalah pemaparan lengkap masing-masing jenis transformasi geometri:

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran merupakan jenis dari transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu.

Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.

Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan. Dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan). Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.

Rumus dari translasi itu sendiri adalah:

(x’,y’) = (a,b) + (x,y)

Keterangan:

x’, y’ = titik bayangan

x,y = titik asal

a,b = vektor translasi

2. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau pencerminan dalam transformasi geometri berarti perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi. Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin. Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain.

Contoh sederhana dari refleksi ini tentunya adalah ketika kita sedang bercermin.

Rumus umum dari refleksi antara lain:

Refleksi terhadap sumbu -x : (x,y) maka (x, -y)

Refleksi terhadap sumbu -y : (x,y) maka (-x, y)

Refleksi terhadap garis y = x : (x, y) maka (y, x)

Refleksi terhadap garis y = -x : (x, y) maka (-y, -x)

Refleksi terhadap garis x = h : (x, y) maka (2h, -x,y)

Refleksi terhadap garis y = K : (x. y) maka (x, 2k – y)

3. Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau juga dikenal dengan perputaran dalam transformasi geometri sesuai dengan namanya berarti sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap sudut dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar

Karena hanya berputar, maka transformasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidan

Contoh sederhananya adalah cara kerja dari bianglala di mana lingkaran memutari titik tengah. Contoh lainnya adalah dalam gangsing. Cara kerja gangsing nyaris sama dengan bianglala karena berputar mengitari titik tenga

Ada beberapa Rumus dari rotasi, yait

Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b): (x,y) maka (-y + a + b, x – a + 

Rotasi 180 derajat dengan pusat (a,b) : (x,y) maka (-x -2a, -y +2b

Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) maka (y – b + a, -x + a + b

Rotasi sebesar 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) maka (-y,x

Rotasi 180 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (-x, -y

Rotasi sebesar -90 derajat dengan pusat (0,0) : (x, y) maka (y, -x)

4. Dilatasi (Pembesaran/pengecilan)

Dilatasi merupakan transformasi atau perubahan ukuran dari sebuah objek. Dalam dilatasi terdapat dua konsep, yaitu titik dan faktor dari dilatasi.

Titik dari dilatasi menentukan posisi dari dilatasi. Titik ini menjadi tempat pertemuan dari semua garis lurus yang menghubungkan antara titik dalam suatu bangunan ke titik hasil dilatasi.

Sedangkan faktor dilatasi adalah faktor perkalian dari suatu bangun yang sudah didilatasikan.

Contoh sederhana dari dilatasi adalah miniatur. Miniatur biasanya dalam bentuk mainan, seperti mobil-mobilan. Mainan merupakan pengecilan dari sebuah objek besar. Contoh lainnya adalah ketika kita mencetak sebuah foto. Foto tersebut bisa dicetak dengan ukuran-ukuran tertentu tetapi tidak mengubah bentuk dari foto tersebut, mulai dari 2×3, 3×4, sampai 4×6 fotonya tetap sama, hanya ukurannya yang berbeda.

Rumus umum dari dilatasi antara lain:

Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx, ky)

Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) maka (kx = k(x-a) + a, (k(y-b) + b))

Contoh gambar Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi

Menyelesaikan masalah translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi dengen matriks 

Translasi:

Misalkan: T1 (a, b) maka T2 • T1 = (a + 4, b + 1), selanjutnya perhatikan proses translasi berikut.

Mencari nilai a:

3 + a + 2 = 8

a + 5 = 8

a = 8 – 5 = 3

Mencari nilai b:

-2 + b + 1 = 7

b – 1 = 7

b = 7 + 1 = 8

Jadi, nilai translasi dari T1 = (3, 8)

Jawaban: B

Refleksi:

Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

Persamaan matriks A:

adalah ….

A. –2x – 7y –11 = 0

B. 2x + 7y – 11 = 0

C. –2x – 7y + 11 = 0

D. 2y – 7x + 11 = 0

E. 2x – 7y + 11 = 0

Pembahasan:

Pertama, cari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x.

Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah:

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

3x – y – 11 = 0

3y’ – x’ – 11 = 0

– x’ + 3y’ – 11 = 0

Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A, Perhatikan langkah -langkahnya seperti pada cara berikut.

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

–3x’ + 2y’ = x’’

– x’ + y’ = y’’

Berikutnya, akan dicari persamaan yang senilai dengan x’ dan y’:

Mencari nilai x’:

Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan – x’ + 3y’– 11 = 0:

-x’ + 3y’ – 11 = 0

-(2y’’ – x’’) + 3( 3y’’ – x’’ ) – 11 = 0

-2y’’ + x’’ + 9y’’ – 3x’’ – 11 = 0

-2x’’ + 7y’’ – 11 = 0

2x’’ – 7y’’ + 11 = 0

Rotasi:

Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah ….

A. 2x – y – 4 = 0

B. x – 2y – 4 = 0

C. x – 2y – 2 = 0

D. 2x – y + 2 = 0

E. 2x – y – 4 = 0

Pembahasan:

Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:

 Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0.

x – 2y – 2 = 0

– x’ – 2y’ – 2 = 0

Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar 90o yang berpusat di O(0, 0):

Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan –x’ – 2y’ – 2 = 0:

– x’ – 2y’ – 2 = 0

– y’’ – 2(–x’’) – 2 = 0

– y’’ + 2x’’ – 2 = 0

2x’’ – y’’ + 2 = 0

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah 2x – y + 2 = 0.

Jawaban: D

Dilatasi:

Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….

A. 15

B. 11

C. 5

D. 4

E. 2

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

Sehingga dapat diperoleh nilai a dan b:

a = 9

3b – 2 = 10

3b = 12

b = 12 : 3 = 4

Jadi, nilai a – b = 9 – 4 = 5

Jawaban: C.