BARISAN & DERET
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Pengertian
Barisan artimetika adalah bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Sementara itu, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika.
Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmetika dengan nilai:
b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2
Sementara itu, deret aritmetika adalah suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmetika. Untuk penjumlahan dari suku-suku pertama hingga suku ke-n barisan aritmetika tersebut bisa dihitung sebagai:
Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U(n-1)
atau
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)
Apabila yang diketahui hanya nilai a, suku pertama serta nilainya merupakan suku ke-n, jadi nilai deret aritmetikanya adalah:
Sn = n/2(a + Un)
Rumus
Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:
Un = a + (n – 1)b atau Un = Un-1 + b
Selain mencari rumus suku ke-n, adapun rumus yang digunakan untuk mencari nilai tengah dari sebuah barisan aritmetika, yakni:
Ut = ½ (a + Un)
Keterangan:
Un = suku ke-n
a = U1
Un-1 = suku sebelum suku ke-n
b = beda
Apabila dilihat secara sekilas, deret aritmetika memiliki komponen rumus yang sama dengan barisan aritmetika. Pembedanya adalah rumus barisan aritmetika digunakan untuk mencari suku yang diinginkan, sedangkan deret aritmetika mencari penjumlahan dari suku-suku tersebut.
Untuk lebih jelasnya, berikut rumus deret aritmetika, yakni:
Sn = n/2 (a + Un) = n/2(2a + (n – 1)b)
Berdasarkan rumus tersebut, dapat ditemukan suku ke-n dengan cara berikut ini, yaitu:
Un = Sn – Sn-1
Keterangan:
Un = suku ke-n
a = U1
Un-1 = suku sebelum suku ke-n
b = beda
Contoh Soal
Soal 1
Suatu bentuk deret aritmetika adalah 5, 15, 25, 35, …. Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?
Diketahui:
n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10
Jawaban:
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 x 100 = 500
Jadi, jumlah S10 dalam deret aritmetika tersebut, yakni 500.
Soal 2
Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertamanya adalah 10 dan suku ke-enam adalah 20. Lalu, tentukan:
-Beda deret aritmetika tersebut.
-Tuliskan deret aritmetika tersebut.
-Jumlah enam suku pertama dari deret aritmetika tersebut.
Jawaban:
Beda deret aritmetika tersebut, yaitu:
Un = a+(n-1)b
U6= a+(6-1) b
20= 10+(5)b
b= 10/5 = 2
Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 2.
Deret aritmetikanya, yaitu:
10+12+14+16+18+20+…+Un
Jumlah suku keenam, S6 adalah:
Sn =n/2 (2a+(n-1) b)
S6= 6/2 (2.10+(6-1) 2)
=3(20+10)
=90
Jadi, jumlah suku keenam deret tersebut adalah 90.
Soal 3
Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …
Diketahui:
a = 7
b = -2
Jawaban:
Un = a + (n – 1)b
U40 = 7 + (40-1)(-2)
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmetika tersebut adalah –71.
Barisan geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan. Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a. Sedangkan, deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.
Berikut ini adalah barisan bilangan geometri 2, 8, 32, ... Maka, tentukan:
A. Suku pertama dan rasionya
B. Rumus suku ke-n, dan
C. U5
Penyelesaian:
Suku pertama dan rasionya
Suku pertama a = 2
Rasio r = 8/2 = 32/8 = 4
Rumus suku ke-n
Un = a.r^(n-1)
Un = 2.4^(n-1)
U5
Un = 2.4^(n-1)
U5 = 2.4^(5-1)
U5 = 2.4^4
U5 = 2.256
U5 = 512
Jadi, nilai suku ke-5 dari barisan geometri di atas adalah 512.
Contoh soal
Jika diketahui barisan ke-5 adalah 48 dan suku ke-8 adalah 384, maka suku ke-4 pada barisan bilangan tersebut adalah?
Penyelesaian:
Barisan ke-5
U5 = a.r^(5-1) = 48
U4 = a.r^4 = 48
Suku ke- 8
U8 = a.r^(8-1) = 384
U8 = a.r^7 = 384
Maka, U8/U5
(a.r^7) / (a.r^4) = 384 / 48
r^3 = 8
r = 2
Suku ke-5
r = U5/U4
U4 = U5/r
U4 = 48/2
U4 = 24
Jadi, suku ke-4 pada barisan bilangan geometri di atas adalah 24.
Contoh soal 3
Pada 2015, wabah flu burung menyerang Indonesia dan beberapa peternak ayam mengalami kerugian karena banyaknya ayam yang mati.
Setiap 20 hari, jumlah ayamnya berkurang menjadi setengah. Setelah dua bulan, jumlah ayam yang tersisa adalah 200 ekor. Hitunglah jumlah ayam sebelumnya yang dimiliki peternak tersebut!
Penyelesaian:
- Un = 200
- r = 1/2
- n = 2 bulan / 20 hari = 60 hari / 20 hari = 3
Dengan menggunakan konsep barisan geometri, maka jumlah awal ayam pak Budi adalah
Un = a.r^(n-1)
U3 = a.(1/2)^(3-1)
200 = a.(1/2)^(2)
200 = a.(1/4)
200.4 = a
a = 800
Jadi, jumlah mula-mula ayam pak Budi adalah 800 eko
Bunga
Pengertian Bunga
Bunga yaitu selisih antara jumlah uang yang dipinjamkan oleh pemodal dengan jumlah uang yang akan dikembalikan oleh pemakai modal menurut kesepakatan bersama.
Adapun besarnya bunga dipengaruhi oleh: besarnya jumlah uang yang dipinjam, jangka waktu untuk meminjam, dan tingkat suku bunga / persentase. Bunga dibedakan menjadi 2 jenis, yakni bunga Tunggal dan bunga Majemuk. Berikut uraiannya..
Jenis-jenis Bunga
Berikut ini merupakan jenis-jenis bunga menurut besarnya bunga yang dibayarkan untuk setiap periode:
Bunga Tunggal
Bunga tunggal yaitu bunga yang dibayar untuk setiap periodenya dengan jumlah yang tetap. Bunga tunggal ini dihitung menurut modal awal.
Contoh soal
Sebuah lembaga koperasi simpan pinjam, memberikan bunga pinjaman untuk anggotanya sebanyak 2% per bulannya. Jika Nia meminjam uang sejumlah Rp. 800.000 dengan jangka waktu 4 bulan, tentukanlah besarnya bunga untuk setiap bulannya yang harus oleh Nia sesuai jangka waktu yang telah disepakati!
Jawab:
M0 = Rp. 800.000
r = 2 %
t = 4 bulan
Sehingga, besarnya bunga untuk setiap bulan dihitung dengan:
B = Mo × t × r
B = Rp. 800.000 × 1 × 2%
B = Rp. 16.000
dan jumlah uang yang harus dikembalikan setelah 4 bulan;
Mt = Mo ( 1 + t × r )
M4 = Rp. 800.000 ( 1 + 4 × 2% )
M4 = Rp. 800.000 ( 1, 08 }
M4 = Rp. 864. 000
Bunga majemuk
Bunga majemuk yaitu, bunga yang dihitung menurut jumlah modal yang dipakai ditambahkan dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. bunga majemuk ini sering disebut dengan bunga berbunga, bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan deret geometri.
Contoh soal
Sebuah bank swasta memberikan pinjaman kepada nasabahnya sebesar Rp. 6.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 3% per tahun. berapakah modal yang harus dikembalikan nasabah tersebut setelah 1 tahun?
Jawab:
M0 = Rp. 6.000.000
i = 3% = 0,03
t = 12 bulan
Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun /12 bulan yaitu:
Mt = Mo (1 + i )
M12 = Rp. 6.000.000 ( 1 + 0, 03 )¹²
M12 = Rp. 6.000.000 (1, 42576)
M12 = Rp. 8.554.560
Anuitas
Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;
1. Besarnya pinjaman,
2. Besarnya bunga, dan
3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran
Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas hutang, dan mengangsur hutang itu sendiri.
Pertumbuhan
pertumbuhan yaitu pertambahan atau kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial).
Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.
Rumus pertumbuhan linear;
Pn = Po ( 1 + nb )
Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial;
Pn = Po ( 1 + b ) n
Keterangan;
Pn = nilai besaran setelah n periode
P0 = nilai besaran pada awal periode
b = tingkat pertumbuhan
n = banyaknya periode pertumbuhan
Contoh Soal
Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!
Jawab;
P0 = 200.000
b = 4% = 0,04
n = 2 jam
Banyaknya bakteri setelah 2 jam;
Pn = P0 (1+b)n
P2 = 200.000 (1 + 0,04)2
P2 = 200.000 (1,0816)
P2 = 216.320 bakteri
Peluruhan
Peluruhan yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.
Rumus peluruhan linear;
Pn = Po ( 1 - nb }
Rumus peluruhan eksponensial;
Pn = Po ( 1 - b ) n
Keterangan;
Pn = nilai besaran setelah n periode
P0 = nilai besaran pada awal periode
b = tingkat peluruhan
n = banyaknya periode pertumbuhan
Contoh Soal
Sebuah bahan radioaktif, mulanya berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga mengalami penyusutan sebanyak 3% dari ukuran sebelumnya setiap 4 jam secara eksponensial. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!
Jawab:
P0 = 100 gram
b = 3% = 0,03
n = 24/4 = 6
Setelah 1 hari, maka ukuran radioaktif tersebut;
Pn = Po( 1-b )n
P6 = 150 ( 1 - 0, 03 )
P6 = 150 (0,97)⁶
P6 = 150 ( 0, 832}
P6 = 124, 8 gram
Komentar
Posting Komentar