INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika sendiri dapat diartikan sebagai salah satu teknik pembuktian dalam matematika. Ini digunakan untuk membuktikan pernyataan khusus yang mengandung bilangan asli. Pembuktian menggunakan cara ini menghasilkan kesimpulan yang bersifat umum.

Terdapat langkah-langkah/metode dalam pembuktian dengan Induksi Matematika, yuk kita simak penjelasan dibawah ini!

Buktikan deret 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n(n+1) 

Langkah pertama

Kita akan buktikan untuk n = 1 adalah benar. Karena pernyataan tersebut merupakan deret, maka n di sini maksudnya jumlah suku pertama deret tersebut. Nah, yang diminta n = 1, berarti jumlah suku pertamanya hanyalah 1. Kemudian, kita substitusi semua n dengan 1. Jadi,

Langkah kedua

Kita asumsikan pernyataan benar untuk n = k. Berarti jumlah suku pertamanya itu dari 1 + 2 + 3 + ... + k, ya. Sehingga,

contoh pembuktian induksi matematika

Pernyataan tersebut kita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah ketiga.

Langkah ketiga

Buktikan untuk pernyataan n = k + 1 juga benar. Kita bisa membuktikannya menggunakan modal dari langkah kedua. Karena kita mau n = k + 1, maka di ruas kiri, kita tambahkan satu suku, yaitu k + 1. Jadi,

contoh pembuktian induksi matematika 

Di langkah kedua, kita peroleh 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 (k)(k + 1). Maka,

contoh pembuktian induksi matematika

Selanjutnya, kamu ingat nggak dengan sifat distribusi pada perkalian? Kalau ada (a + b)(c + d), maka bisa menjadi a(c + d) + b(c + d). Nah, di ruas kiri, bisa kita ubah persamaannya menggunakan sifat perkalian distribusi.

Misalnya, a = k, b = 2, dan (c + d) = (k + 1). Berarti,

contoh pembuktian induksi matematika

Karena ruas kiri dan kanannya sudah sama, berarti terbukti kalau untuk deret 1 + 2 + 3 + ... + n nilainya sama dengan 1/2 n(n + 1).

 

BentukPenerapan Induksi Matematika

Beberapa penerapan induksi matematika yaitu pada penerapan induksi matematika barisan bilangan, penerapan induksi matematika pada keterbagian, dan penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan (ketaksamaan). Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut ini

Untuk n bilangan asli, x ≠ 1, buktikan dengan induksi matematika bahwa xⁿ – 1 habis dibagi (x – 1).

Pembahasan:

Misalkan P(n) = xn – yn .

Untuk membuktikan P(n) = xⁿ – 1 habis dibagi (x  –  1), artinya P(n) dapat dituliskan sebagai kelipatan x – 1.

Oleh karena itu, akan ditunjukkan P(n) = xⁿ – 1 memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

 Langkah Awal :

Untuk n = 1, sangat jelas bahwa x – 1 = (x – 1) × 1.

Demikian halnya untuk n = 1 diperoleh bahwa x² – 1 = (x – 1)(x + 1). Artinya jelas bahwa P(2) = x² – 1 habis dibagi (x – 1).

 Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

• Untuk n = 3, maka x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1 ).
• Untuk n = 4, maka x⁴ – 1= (x – 1)(x³ + x² + x + 1).
• Untuk n = 5, maka x⁵ – 1 = (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1).

Jadi untuk n = k, maka P(k) = x^k – 1 = (x – 1)(x^{k – 1} + 1).

Olehkarena itu, disimpulkan bahwa P(k) = x^k – 1 habis dibagi x – 1. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = x^{k – 1} – 1 juga habis dibagi (x – 1).

Contoh Soal Induksi Matematika

Contoh soal induksi matematika terdiri dari soal induksi matematika dan pembahasan induksi matematika. Berikut 3 Contoh Soal Induksi Matematika

1. Buktikan bahwa pernyataan berikut ini adalah salah. Jika n bilangan asli, maka terdapat paling sedikit satu bilangan prima p sedemikian sehingga n < p < n + 3.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung :

Misalkan n = 19, maka n + 3 = 22

Ternyata tidak berlaku 19 < p < 22 karena tidak ada bilangan prima antara 19 dan 22.

 

2. Salah satu faktor dari n³ – 1 adalah 1, n bilangan asli.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung:

n³ – 1 = (n – 1)( n² + n + 1), di mana n = 1.

Jadi terbukti bahwa salah satu faktor dari n³ – 1 adalah 1.

 

3. Diberikan a > 2, buktikan aⁿ > 0, n bilangan bulat positif.

Pembahasan Induksi Matematika

Langkah Awal :

Untuk a > 2, sangat jelas bahwa aⁿ > 0

Demikian halnya untuk a = 3 diperoleh bahwa 3ⁿ > 0. Artinya jelas bahwa P(2) = 3² > 0

 Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

• Untuk n = 3, maka 3³ = 27 > 0.
• Untuk n = 4, maka 3⁴ = 81 > 0
• Untuk n = 5, maka 3⁵ = 273 > 0

Jadi untuk n = k, maka P(k) = 3^k > 0.

Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = a^k – 1 > 0. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = a^{k – 1} > 0.